| 再揭圓周率的面目[节录] |
再揭圓周率的面目[节录]
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作者 曹亮吉 現任教於台大數學系
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你可知道√2的第100位小數是什麼？如果一時答不上來，那麼能算是認得√2這個數嗎？當然，因為我們知道√2的頭幾位小數√2＝1.41421……，所以知道它的大小大約是多少，這比知道第100位小數重要得多；而更重要的是我們知道√2的最基本性質：√2的平方就是2。認識一個數不能只從它的小數表法著手。
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數字中，我們對整數最熟悉，其次是分數。分數可從它們與整數間的關係來了解；√2也是。我們對√2/3的熟悉感就比√2或2/3差了一等，【瀏覽原件】又差得更遠。雖然如此，我們還算認得這兩個數，主要是因為它們和整數或分數有密切的關係，而我們對後兩者相當熟習，所以對這兩個數也就不陌生了。
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上次談到從小數表示法了解圓周率π，這回且換個角度，從它與整數及分數的關係，再揭開圓周率的另一些面目。
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π和整數有些什麼關係？它比3大一點，但大不了太多，所以前人有用3來代替圓周率的。除此以外，π似乎和整數沒有什麼直接的瓜葛。
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π本身是個分數嗎？π的小數位知道得愈多，愈使人覺得它不是有限小數，也不是循環小數，因此不會是個分數。儘管大家都有「π不為分數」的想法，卻直到1766年，瑞士數學家藍伯（J. Lambert, 1728－1777）才使它成為定論。
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π既然不是分數，那麼它和分數間會有什麼關係呢？這要從逼近的觀點來看。
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按照阿基米德及劉徽的方法，理論上，我們要得π的多少位小數都辦得到，但用小數表法（及其相應的分數表法）有其缺點──位數愈多固然愈精確，但也因此愈不簡潔。
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用阿基米德及劉徽的方法，做小數逼近，必須先算出各個小數，其過程相當的繁雜，但上面這種分數逼近法就簡潔多了。脫離小數表示法，引入簡潔的分數或級數逼近方法，是深入了解圓周率的一大契機。譬如，在格雷格里的公式
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π=4[1-1/3+1/5-1/7+……+(-1)n/(2n+1)+……]
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中，雖然級數收斂緩慢，不容易用來計算π的小數，但它告訴我們，π與簡單的分數和之間有密切的關係：若m為任何正整數，則
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4[1-1/3+1/5-1/7+……-1/(4m-1)]＜π
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＜4[1-1/3+1/5-1/7+……+1/(4m+1)]
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隨著級數理論的成長，π的分數逼近也不斷推陳出新，不但使人看到圓周率的更多種面目，也幫助我們找到圓周率更多的點點點。
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我們知道1+1/2+1/3+…+1/n+…這個級數並不趨近於定值，它會發散到無窮大。那麼1/(1*1)+1/(2*2)+1/(3*3)+…+1/(n*n)+…呢？試一試頭幾項和，就知這個級數會收斂到1.64…。這是個怎樣的數呢？要是從小數表法來看，你一定猜不出來。但如果告訴你，這個級數的收斂值就是π*π/6，相信你對π又多了一層認識──π與正整數平方的倒數和有關！
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下面我們引用更深一層的連分數理論，來看355/113在逼近π值中所扮演的角色。
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設pk/qk為一實數a的第k階漸近分數。根據連分數的理論，若分母不大於n的諸分數中，以既約分數m/n最接近a，則m/n必等於(pk+pk+1b)/(qk+qk+1b)，此處b、k為適當的非負整數。這樣的分數m/n稱為a的一個良好逼近，呈(pk+pk+1b)/(qk+qk+1b)形式的分數不一定是良好逼近，但良好逼近一定是這一形式的分數。這個性質和七月號所述的漸近分數性質（2）相似但不相同（性質（2）說漸近分數一定是良好逼近）。根據性質（2），355/113要比任何分母不大於113的分數接近於π，而下一個漸近分數103993/33102也有類似的性質，且比355/113更近於π。那麼分母在113和33102之間的任一分數和355/113相比較又如何呢？如果有比355/113更接近π的，則其中分母最小的一個必是良好逼近，而且必呈(333+355b)/(106+113b)這種形式。逐一檢驗，我們發現b≤145時，這種分數都不是良好逼近（比起355/113，它們都離π較遠），而b=146時的分數(333+355×146)/(106+113×146)=52163/16604才是一個良好的逼近。因此在分母小於16604的所有分數中，要以355/113最近於π！當年祖沖之發現355/113時，大概沒想到這一層意義吧！（習題2, 分母在7與106之間的分數，何者為π的良好逼近？這些良好逼近在歷史上曾做過π的上下界嗎？）
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用小數及分數逼近，我們欣賞了圓周率的一些美妙性質。以後當再接再勵，繼續將圓周率的各種風貌展現出來。
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