| 芝诺悖论，微积分，测度论与量子力学 |
问题：
gY06pl http://blog.numino.net/
1.阿基里斯是《史诗》中的英雄，以善跑著称。芝诺却说他永远追不上乌龟。设他速度为乌龟10倍，龟在前100m。他跑到100m（龟的出发点）时，龟又向前走了10m；他又跑10m，但龟又向前1m；他再向前1m，龟又走0.1m……这样永远相隔一小段距离，总也追不上。
MGIlai http://blog.numino.net/
2.飞行的箭在任一确定时刻只能占据空间的一个特定位置，它在这一瞬间就静止在这个位置。所谓运动，只是许多静止的总和。
s5BrXa http://blog.numino.net/
分析：
sho05M http://blog.numino.net/
1.空间的无限分割问题：
mHNfvL http://blog.numino.net/
有限长的时间等于许多一瞬间的总和，没错。但运动是不是静止的总和呢？问题就在这一瞬间。一瞬间是一个时间的微分，而微分不是零。一个有限数并非许多零的总和（这么推理，为什么一个有限的数还能无限分割呢？）。但如果运动的微分不是静止就有很多矛盾。因为如果运动的微分是微小的运动，那么它就可以继续分割（因为毕竟还在运动）……
77j3Vc http://blog.numino.net/
平面上一段曲线和它在坐标轴上的投影线段上的点数是否相等？无穷大应该也有等级吧？欧氏空间中从一点沿任何曲线都不会比直线（曲线的投影）更快到达另一点，这就是梯度的几何意义吧？
jWG4Wv http://blog.numino.net/
考虑量子力学。如果一个量特别小，那么没有仪器可以测量它。但不通过测量，我们就对世界一无所知，从而谈这个小量就没有意义（虽然在人类知觉外的客观世界有一套规律，但我们如何认识它呢？）。量子力学规定了最小空间间隔（普朗克长度）。首先，它肯定了空间不能无限分割；其次，在如此小的尺度内，直线段与曲线段不可区分。
8rG4dk http://blog.numino.net/
2.奇点问题：
4lorEF http://blog.numino.net/
分析英雄将要追上乌龟的一瞬间（把英雄和乌龟当作质点，暂时不考虑量子力学的最小距离）。英雄要超过乌龟必须在一个比质点大的空间范围的左端越到右端，而乌龟在这个空间的左端没有跨越。此时时间是停滞的。乌龟没有动而英雄在同一时刻存在两个位置（左端和右端）。并不是有两个英雄，而是这个过程是“闪”过去的。怎么闪的，可能是一种量子效应吧（想一想隧道效应之类的“反常”，似乎可以理解这类不可能事情）。但这个过程之内的事情无法研究，这个点是一个奇点（就像黑洞的奇点）。考虑量子的空间间隔也不影响大局，充其量从奇点变成“奇域”（该区域尺度与普朗克长度相当）。
j4koOg http://blog.numino.net/
虽然无法研究一瞬间的怪事，但可以针对追龟的全过程从整体上解释。芝诺把人追到上次乌龟的位置作为一个周期，用来作为时间计量单位（芝诺时）。人在第n次到达乌龟的第n个起点时，芝诺时间T=n，而追上乌龟时，日常时间t=s/(V-v)，芝诺时出现奇点（t=无穷）。即芝诺时在0~无穷只覆盖了日常时间的有限区域。所以按芝诺时计算，英雄永远追不上乌龟……
5E8num http://blog.numino.net/
|
|