| 举一个无限个无穷小的乘积不是无穷小的例子 |
定义函数列如下:
BKHN5C http://blog.numino.net/
1.fn(x)的定义域为:[1,+∞).
k2K4a4 http://blog.numino.net/
2.f1(x)=1, x∈[1,2)
2W5X8Q http://blog.numino.net/
f1(x)=1/x, x∈[2,+∞)
oH90L7 http://blog.numino.net/
3.n>1,
NH1PFB http://blog.numino.net/
fn(x)=1, x∈[1,n)
iRC2B0 http://blog.numino.net/
fn(x)=x^(n-1), x∈[n,n+1)
K1w37m http://blog.numino.net/
fn(x)=1/x, x∈[n+1,+∞)
t1Yiif http://blog.numino.net/
4.设F(x)=∏{1≤n}fn(x),
cTh1QU http://blog.numino.net/
ⅰ.x∈[1,2)
EqVak3 http://blog.numino.net/
==>fn(x)=1
1gOP4K http://blog.numino.net/
==>F(x)=∏{1≤n}fn(x)=1
65DF92 http://blog.numino.net/
ⅱ.x∈[k,k+1),k>1
AY4BhS http://blog.numino.net/
fn(x)=1/x,n≤k-1
4Nn05V http://blog.numino.net/
fk(x)=x^(k-1),
s0NFrC http://blog.numino.net/
fn(x)=1,k+1≤n
nUU46A http://blog.numino.net/
F(x)=∏{1≤n}fn(x)=
i5Y206 http://blog.numino.net/
=f1(x)*..*f(k-1)(x)*fk(x)*1*1...=
hoz0cI http://blog.numino.net/
=(1/x)*..(1/x)*x^(k-1)*1..*1...=
iqT923 http://blog.numino.net/
=1
AebbX1 http://blog.numino.net/
所以F(x)≡1,因此当x→+∞时,F(x)不是无穷小.
1SX7Lt http://blog.numino.net/
但对于每个fn(x),当x→+∞时,fn(x)是无穷小.
0M0gcm http://blog.numino.net/
(显然Lim{x→+∞}fn(x)=0)
oivgdb http://blog.numino.net/
所以无穷个无穷小的乘积不一定是无穷小.
Q5QW7H http://blog.numino.net/
一致连续这个知识点并不在一般高校高等数学的教学计划内。
j9NO6R http://blog.numino.net/
无穷小定义lim<x→>α(x)=0，x可以趋于定点，也可以趋于无穷．
wi7RM5 http://blog.numino.net/
下面假定x→+∞，,x趋于定点的证明类似．
w2xvvK http://blog.numino.net/
对任意给定的0<ε<1,存在X>0,当x>X时,
b87A5O http://blog.numino.net/
有|α(x)|<ε
Of538q http://blog.numino.net/
设βi(x)=α1(x)α2(x)…αi(x)，lim<x→+∞>αi(x)=0（i=1,2,…），β(x)=lim<n→∞>βn(x)
QI6g7Z http://blog.numino.net/
只有当αn(x)一致连续的时候，无限个无穷小的乘积才是是无穷小。
4mOn5G http://blog.numino.net/
由lim<x+∞>αi(x)=0知
X337sD http://blog.numino.net/
对任意给定的0<ε<1,存在X>0,当x>X时,有|αi(x)|<ε(1≤i≤n)
x9949o http://blog.numino.net/
得到|α1(x)α2(x)…αn(x)|<ε^n
CW93gd http://blog.numino.net/
两边令n→∞，得
P3JRNH http://blog.numino.net/
|lim<n→∞>α1(x)α2(x)…αn(x)|≤lim<n→∞>ε^n=0
jwDct5 http://blog.numino.net/
故lim<x→∞>β(x)=0
XHG3u4 http://blog.numino.net/
以上即证明了当αn(x)一致连续的时候，无限个无穷小的乘积仍是无穷小．
ELp42V http://blog.numino.net/
|
|